นิยาย น่ารู้รอบตัว เรื่องคณิตศาสตร์ > ลำดับตอนที่ #16 : โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ : Dek-D.com

ลำดับตอนที่ #16

ลำดับตอนที่ #16 : โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

อัปเดตล่าสุด 25 มิ.ย. 50

ในหัวข้อนี้จะเป็นรากฐานสำคัญที่จะนำเข้าสู่เรื่องของการสร้างกราฟของความสัมพันธ์ต่อไป แต่ตอนนี้ เรามาทำความรู้จักกับคำว่าโดเมน และเรนจ์กันก่อนนะคะ

ทุกคนก็คงจะรู้จักเป็นอย่างที่เกี่ยวกับเรื่องความสัมพันธ์และ ผลคูณคาร์ทีเซียนกันแล้ว ซึ่งเราจะนำความรู้ในเรื่องนั้นละนำมาอธิบายความหมายที่แท้จริงพร้อมยกตัวอย่างง่ายๆของ โดเมนและเรนจ์

ถ้าเรากำหนดให้ $A=\{1,2\}$ และ $B=\{2,3,4\}$ เราจะทราบว่า $A\times B=\{(1,2),(1,3),(1,4),(2,2),(2,3),(2,4)\}$ และถ้า $r=\{(x,y)\in A\times B|y=x+1\}$ เราจะได้ $r=\{(1,2),(2,3)\}$

จากข้างต้นดังที่กล่าวมา เราสามารถที่จะสรุปได้ว่า

เซตของสมาชิกตัวหน้าในคู่ดันดับของ

คือ $\{1,2\}$ เรียกเซตนี้ว่า โดเมน ของ

เซตของสมาชิกตัวหลังในคู่ดันดับของ

คือ $\{2,3\}$ เรียกเซตนี้ว่า เรนจ์ ของ

นิยาม โดเมนของความสัมพันธ์

คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน

เรนจ์ของความสัมพันธ์

คือ เซตของสมาชิกตัวหน้าของคู่อันดับใน

ซึ่งสัญลักษณ์ที่เราจะใช้เขียนแทนโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ r นั้นเราจะแทนโดเมนด้วย D_r

และ เรนจ์ด้วย R_r

ดังนั้น $D_r=\{x|(x,y)\in r\}$ และ $R_r=\{x|(x,y)\in r\}$

ตัวอย่าง ให้ $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ และ $r=\{(x,y)\in A\times A|y=x^2\}$ จงหา D_r

และ

การแก้ปัญหา : $A=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$

$r=\{(x,y)\in A\times A|y=x^2\}$ $=\{(1,1),(2,4),(3,9)\}$

ดังนั้น $D_r=\{1,2,3\}$ และ $R_r=\{1,4,9\}$

และจากตัวอย่างดังข้างต้นที่เราแสดงให้เพื่อนๆเห็นนี้ เป็นการหาค่าโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่เขียนอยู่ในรูปของเซตแบบแจกแจงสมาชิก ซึ่งเราจะพบว่าค่า

ที่จะเป็นสมาชิกในโดเมน หรือค่า

ที่จะเป็นสมาชิกในเรนจ์จะต้องเป็นสมาชิกตัวหน้า หรือสมาชิกตัวหลังของคู่อันดับตามลำดับ และจากความเข้าใจดังจ่อไปนี้ เราจะนำไปใช้ในการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กำหนดในรูปเซตแบบบอกเงื่อนไขที่ไม่สามารถแจงแจงสมาชิกของเซตเหล่านี้ได้หมดทุกตัว เช่น $r=\{(x,y)\in R\times R/y=x^2-1\}$

ซึ่งการหาค่าโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์นี้จะต้องพิจารณาด้วยค่าของ

หรือ

จากเงื่อนไขของความสัมพันธ์ โดยพิจารณาจากค่าที่เป็นไปได้หรือค่าที่เป็นไปไม่ได้ หรือหาโดเมนและเรนจ์ได้จากกราฟของความสัมพันธ์

ดังนั้นการหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ที่กำหนดในรูปของเซตแบบบอกเงื่อนไขที่ไม่สามารถแจกแจงสมาชิกของเซตได้หมดทุกตัว สามารถทำได้ 2 วิธีได้แก่

1. พิจารณาโดเมน และเรนจ์ จากกราฟของความสัมพันธ์
2. พิจารณาจากสมการของความสัมพันธ์

ซึ่งการใช้วิธีพิจารณาจากสมการความสัมพันธ์นั้น สามารถทำได้ดังนี้คือ

การหาโดเมน : เขียนความสัมพันธ์ โดยจัด

ในรูปของ

นั่นคือ

แล้วพิจารณาค่าของ

ที่ทำให้

เป็นจริงตามเงื่อนไขที่เซตกำหนด
การหาเรนจ์ : เขียนความสัมพันธ์ โดยจัด

ในรูปของ

นั่นคือ

แล้วพิจารณาค่าของ

ที่ทำให้

เป็นจริงตามเงื่อนไขเซตที่กำหนด

ตัวอย่าง จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
1. $r=\{(x,y)\in R\times R|y=x+5\}$
2. $r=\{(x,y)\in R\times R|y=x^2-4\}$
3. $r=\{(x,y)\in R\times R|y=9-x^2\}$

การแก้ปัญหา :

1. $r=\{(x,y)\in R\times R|y=x+5\}$

วิธีที่ 1 พิจารณาจากกราฟของความสัมพันธ์

จากกราฟจะพบว่าทุกจุดบนแกน

และทุกจุดบนแกน

สามารถเขียนกราฟของ y=x+5

ได้เสมอ
แสดงว่า $D_r=\{x|x\in R\}$ และ $R_r=\{y|y\in R\}$

หรือ D_r=R_r

$=\{x|x\in R\}$
หรือ D_r=R_r

$=\{y|y\in R\}$

วิธีที่ 2 พิจารณาจากความสัมพันธ์ y=x+5

จากความสัมพันธ์พบว่าไม่ว่าจะแทนค่า

ด้วยจำนวนใดๆ สามารถหาค่า

ที่เป็นจำนวนจริงสอดคล้องกับ y=x+5

ได้เสมอ
นั่นคือ $D_r=\{x|x\in R\}$ และ $R_r=\{y|y\in R\}$

แบบฝึกหัด 4

1. กำหนด $A=\{5,6,7,8,9\},B=\{3,4,5\}$ จงหาโดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
1. $r_1=\{(x,y)\in A\times B|x>7,y=4\}$
2. $r_2=\{(x,y)\in A\times A|y>x+2\}$
3. $r_3=\{(x,y)\in B\times B|y>|x|\}$

2. จงหาโดเมน และเรนจ์ของความสัมพันธ์ต่อไปนี้
1. $r=\{(x,y)\in I^+\times I^+|x+y=9\}$
2. $r=\{(x,y)|y=2x\}$
3. $r=\{(x,y)|y\leq1-x^2\}$

ผู้เขียน: ดร. ภคินี สุวรรณจันทร์

ติดตามเรื่องนี้

เก็บเข้าคอลเล็กชัน

ลำดับตอนที่ #16 : โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

ลำนำวารี

ผู้อ่านนิยมอ่านต่อ ดูทั้งหมด

อีบุ๊ก ดูทั้งหมด

2ความคิดเห็น

2ความคิดเห็น

คืนค่าการตั้งค่าทั้งหมด

ลำดับตอนที่ #16 : โดเมนและเรนจ์ของความสัมพันธ์

ลำนำวารี

ผู้อ่านนิยมอ่านต่อ ดูทั้งหมด

อีบุ๊ก ดูทั้งหมด

2ความคิดเห็น

2ความคิดเห็น