ความรู้!

ลำดับตอนที่ #291 : >>วิชา

ในทางคณิตศาสตร์ 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมอนันต์ ซึ่งแต่ละพจน์เป็นจำนวนเต็มบวกที่อยู่ถัดจากพจน์ก่อนหน้า โดยใส่เครื่องหมายบวกและเครื่องหมายลบสลับกัน ผลบวกใน m พจน์แรกของอนุกรมนี้สามารถเขียนได้ในรูป

อนุกรมนี้เป็นอนุกรมลู่ออก เพราะลำดับของผลบวกจำกัดพจน์ (1, -1, 2, -2, …) ไม่ลู่เข้าหาจำนวนจำกัดใด ๆ จึงไม่สามารถหาลิมิตได้ แต่มีปฏิทรรศน์จำนวนมาก ที่แสดงว่าอนุกรมนี้มีลิมิต

ในคริสต์ศตวรรษที่ 18 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้ยอมรับปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า

การหาผลบวกดังกล่าวเริ่มมีการพัฒนาตั้งแต่ใน พ.ศ. 2433 เออร์เนสโต เซซาโร, เอมิลี โบเรล และนักคณิตศาสตร์คนอื่น ๆ ได้ร่วมกันพัฒนาวิธีในการนิยามผลบวกของอนุกรมลู่ออก

อนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมที่ใกล้เคียงกับอนุกรมแกรนดี 1 − 1 + 1 − 1 + … ออยเลอร์ได้พิจารณาอนุกรมทั้งสองว่าเป็นกรณีเฉพาะของ 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + … งานวิจัยของเขาได้ต่อยอดไปสู่การศึกษาเรื่องปัญหาของเบเซล และสมการเชิงฟังก์ชัน ซึ่งนำไปสู่ฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์ และฟังก์ชันซีตาของรีมันน์การลู่ออกของอนุกรม

การแสดงว่าอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมลู่ออก สามารถสังเกตได้จากผลบวกจำกัดพจน์ของอนุกรมดังนี้^[1]

1 = 1,

1 − 2 = −1,

1 − 2 + 3 = 2,

1 − 2 + 3 − 4 = −2,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,

…

ลำดับดังกล่าวประกอบด้วยจำนวนเต็มบวกทุกตัวยกเว้นศูนย์ จึงสามารถสร้างเซต ของจำนวนเต็มขึ้นมาจากลำดับดังกล่าวได้^[2] และจะเห็นว่าลำดับดังกล่าวไม่ได้ลู่เข้าหาค่าคงที่ใด ๆ ดังนั้น อนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมลู่ออก

[แก้] การหาผลบวกของอนุกรม

ถึงแม้ว่าอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … จะเป็นอนุกรมลู่ออก แต่เมื่อให้ s = 1 − 2 + 3 − 4 + … จะสามารถสร้างปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า s = ¹⁄₄ ได้ดังนี้^[3]

แผนภาพแสดงการพิสูจน์ว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … = ¹⁄₄

จึงได้ว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … = ¹⁄₄ ถึงแม้ในความเป็นจริง เราจะไม่สามารถหาผลบวกของอนุกรมดังกล่าวได้ แต่ผลบวกที่ได้มาจากปฏิทรรศน์ต่าง ๆ จะถือว่าเป็นผลบวกที่นิยามขึ้นสำหรับอนุกรมลู่ออก ซึ่งมีวิธีหาผลบวกเหล่านี้หลายวิธี อย่างไรก็ตาม วิธีการพิสูจน์ข้างต้นได้แสดงถึงความสัมพันธ์ของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … และอนุกรมแกรนดี 1 - 1 + 1 - 1 + … ดังนี้

ซึ่งนำไปสู่ปฏิทรรศน์ที่แสดงว่า 1 - 1 + 1 - 1 + … = ¹⁄₂

[แก้] ผลคูณโคชี

ใน พ.ศ. 2434 เออร์เนสโต เซซาโร ได้เสนอแนวคิดที่ว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … เกิดจากผลคูณโคชีของ 1 - 1 + 1 - 1 + … กับ 1 - 1 + 1 - 1 + …

ผลคูณโคชีสามารถหาได้ในกรณีที่อนุกรมทั้งสองลู่ออก สำหรับ Σa_n = Σb_n = Σ(−1) ⁿ เมื่อหาผลคูณตามนิยามจะได้

ซึ่งแสดงความสัมพันธ์ระหว่างผลบวก 1 − 2 + 3 − 4 + … = ¹⁄₄ และผลบวกของอนุกรมแกรนดี 1 − 1 + 1 − 1 + … = ¹⁄₂

ในทางผลบวกเซซาโรถือว่า 1 - 1 + 1 - 1 + … เป็นอนุกรมที่อ่อนที่สุด เรียกว่า (C, 1) ในขณะที่ 1 − 2 + 3 − 4 + … เป็นอนุกรมที่เข้มขึ้น เรียกว่า (C, 2) ^[4]

[แก้] วิธีอื่น ๆ

มีหลายวิธีในการนิยามผลบวกของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … เช่น

[แก้] เซซาโรและโฮลเดอร์

กราฟแสดงผลบวก (H, 2)

ผลบวกเซซาโร (C, 1) ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … สามารถหาได้โดยการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลบวกจำกัดพจน์ ได้แก่

1, −1, 2, −2, 3, −3, …

ซึ่งมีค่าเฉลี่ยเลขคณิตคือ

1, 0, ²⁄₃, 0, ³⁄₅, 0, ⁴⁄₇, …

ลำดับดังกล่าวเป็นลำดับลู่ออก ดังนั้นจึงไม่สามารถหาผลบวกเซซาโรของ 1 − 2 + 3 − 4 + … ได้

อย่างไรก็ตาม ในปี พ.ศ. 2425 อ็อตโต โฮลเดอร์ ได้การหารูปแบบที่ง่ายขึ้นของผลบวกเซซาโรที่เรียกว่า (H, n) เมื่อ n เป็นจำนวนเต็มบวก โดย (H, 1) หมายถึงเซซาโร และค่าที่สูงขึ้นสามารถหาได้โดยการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิตของลำดับก่อนหน้าไปเรื่อย ๆ เช่น ค่าเฉลี่ยของผลบวกจำกัดพจน์ของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … พจน์คี่ทุกพจน์เป็นศูนย์ ในขณะที่พจน์คู่มีค่าลู่เข้าสู่ ¹⁄₂ ดังนั้นค่าเฉลี่ยจึงลู่เข้าสู่ค่าเฉลี่ยของ 0 และ ¹⁄₂ คือ ¹⁄₄^[5]

[แก้] ผลบวกอาเบล

กราฟแสดงค่าของ 1−2x+3x²+…; 1/(1 + x) ² ซึ่งมีลิมิตเป็น 1

จากรายงานใน พ.ศ. 2292 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ ได้ยอมรับว่าอนุกรมดังกล่าวเป็นอนุกรมลู่ออก แต่ต้องการที่จะหาผลบวกให้ได้ ดังนี้^[6]

สำหรับจำนวนจริง x ที่มีค่าสัมบูรณ์ น้อยกว่า 1 จะได้ว่า

ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยขั้นตอนการหารพหุนาม

ถึงแม้ว่าอนุกรม 1 − 2x + 3x² − 4x³ + … จะไม่นิยามค่าเมื่อ x = 1 จึงทำให้ไม่สามารถหาลิมิตดังกล่าวนี้ได้ แต่ออยเลอร์ได้หาลิมิตเมื่อ x เข้าใกล้ 1 ดังนี้^[7]

[แก้] ออยเลอร์และโบเรล

แผนภาพแสดงผลบวกออยเลอร์

ออยเลอร์ได้ใช้เทคนิคอื่นในการหาผลบวกของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … โดยเริ่มจากจำนวนเต็มบวกในลำดับที่ใส่เครื่องหมายบวกและเครื่องหมายลบสลับกันคือ 1, 2, 3, 4, … เรียกพจน์แรกของลำดับนี้ว่า a₀ จากนั้นสร้างลำดับของผลต่างของพจน์ถัดกันในลำดับนี้ จะได้ลำดับ 1, 1, 1, 1, … และเรียกพจน์แรกของลำดับนี้ว่า Δa₀ สำหรับลำดับที่เกิดจากการหาผลต่างของพจน์ถัดกันของลำดับนี้ไปเรื่อย ๆ จะเป็นศูนย์ทั้งหมด ผลบวกออยเลอร์ของ 1 − 2 + 3 − 4 + … นิยามโดย

ผลบวกออยเลอร์ยังนำไปสู่การหาผลบวกของอนุกรมในวิธีอื่น โดยการเขียนอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … อยู่ในรูป

ซึ่งมีความสัมพันธ์กับสูตร

ทำให้ได้ผลบวกที่เรียกว่าผลบวกโบเรล ดังนี้^[8]

[แก้] ไซเชฟและวอยซีนสกี

ไซเชฟและวอยซีนสกีได้แสดงว่า 1 − 2 + 3 − 4 + … = ¹⁄₄ โดยใช้หลักการทางฟิสิกส์ที่กล่าวว่า

• ถ้า φ(x) เป็นฟังก์ชันที่อนุพันธ์ลำดับที่หนึ่งและลำดับที่สองสามารถหาค่าได้และต่อเนื่องในช่วง (0, ∞) โดยที่ φ(0) = 1 และลิมิตของ φ(x) และ xφ(x) เข้าสู่ +∞ เป็นศูนย์ แล้ว^[9]

โดยให้ φ(x) = exp(−x) ทำให้ได้ผลลัพธ์เป็นรูปทั่วไปของผลบวกอาเบล

[แก้] รูปทั่วไป

ผลคูณโคชีชั้นที่สามของ 1 - 1 + 1 - 1 + … คือ 1 - 3 + 6 - 10 + … ซึ่งเป็นอนุกรมสลับของจำนวนสามเหลี่ยม โดยมีผลบวกอาเบลและผลบวกออยเลอร์เป็น ¹⁄₈^[10] ผลคูณโคชีชั้นที่สี่ของ 1 + 1 - 1 + 1 - … คือ 1 - 4 + 10 - 20 + … ซึ่งเป็นอนุกรมสลับของจำนวนเตตระฮีดรอน โดยมีผลรวมอาเบลเป็น ¹⁄₁₆

รูปแบบทั่วไปอีกรูปแบบหนึ่งของอนุกรม 1 − 2 + 3 − 4 + … คือ 1 − 2ⁿ + 3ⁿ − 4ⁿ + … สำหรับจำนวนเต็มบวก n ซึ่งมีผลรวมอาเบลเป็น^[11]

เมื่อ B_n เป็นจำนวนแบร์นูลลี สำหรับ n ที่เป็นจำนวนคู่ ผลบวกจะสามารถลดรูปได้เป็น

ซึ่งค้นพบโดย นีลส์ เฮนริก อาเบล ในปี พ.ศ. 2469

ในปี พ.ศ. 2426 เซซาโรได้พยายามหาสูตรในการหาลิมิตของรูปทั่วไปแต่ได้พบข้อผิดพลาดในงานของเขา อย่างไรก็ตาม แนวคิดที่ใช้ก็เป็นแนวคิดที่มีประโยชน์ ในที่สุด เมื่อ พ.ศ. 2433 เซซาโรได้หาลิมิตของอนุกรมได้ และได้ตีพิมพ์ลงใน Sur la multiplication des séries^[12]

การศึกษาอนุกรมดังกล่าวได้ศึกษาถึงค่า n ที่ไม่เป็นจำนวนเต็มด้วย ซึ่งนำไปสู่ฟังก์ชันอีตาของดิริชเลต์และฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ออยเลอร์ได้ศึกษาเกี่ยวกับฟังก์ชันเหล่านี้และหาค่าของฟังก์ชันสำหรับจำนวนคู่ และได้พยายามที่จะหาค่าของฟังก์ชันสำหรับจำนวนคี่ แต่ก็ยังไม่มีใครสามารถหาได้จนถึงปัจจุบัน