วิธีเขียนสมการจากโจทย์ปัญหา [part 2]

          คราวก่อนได้สอนวิธีแก้โจทย์ปัญหาตัวแปรเดียวไปแล้ว คราวนี้ก็จะพูดถึงโจทย์ที่ยากขึ้น คือโจทย์ที่มีสองตัวแปรขึ้นไป

          อันที่จริง โจทย์ปัญหาทุกข้อที่มี ‘สิ่งที่เราไม่รู้’ มากกว่า 1 ตัวนั้น ควรจะใช้หลายตัวแปรในการแทนค่า แต่ระบบการศึกษาไทยชอบสอนให้เด็กพยายามฝืนใช้ตัวแปรเดียว (คือใช้แต่ x ไม่ใช้ y, z) ซึ่งมันก็โอเคแหละ เวลาเจอโจทย์ง่าย ๆ ใช้แต่ x อย่างเดียวก็ทำได้ แต่ถ้าเจอโจทย์ที่ซับซ้อนขึ้นไปอีกระดับนึง ถ้าฝืนใช้ตัวแปรเดียวจะยากกว่าการใช้สองตัวแปร

          เพื่อให้เห็นภาพมากขึ้น ขอยกตัวอย่างให้ดูเลยละกัน เริ่มจากโจทย์สุด classic ที่เชื่อว่าหลาย ๆ คนคงเคยเจอมาแล้ว คือโจทย์เลี้ยงไก่-เลี้ยงหมู แล้วนับขาไก่-ขาหมู

Ex.1 แมนเลี้ยงไก่และหมูรวมกัน 100 ตัว ถ้าหมูและไก่ที่แมนเลี้ยงมีจำนวนขารวมกัน 280 ขา อยากทราบว่าแมนเลี้ยงไก่หรือหมูมากกว่ากัน และมากกว่าอยู่กี่ตัว (Lv.1)

วิธีทำ ข้อนี้มีสิ่งที่เราไม่รู้อยู่ 2 อย่าง คือจำนวนไก่ และจำนวนหมู
หลัก ๆ ก็จะมีวิธีทำ 2 วิธี คือแบบใช้แต่ x อย่างเดียว กับแบบใช้ทั้ง x และ y

......................................................

วิธีที่ 1 – ใช้แต่ตัวแปร x อย่างเดียว

สมมติเลือกให้ไก่เป็นตัวแปร x
จากที่โจทย์บอกว่ามีไก่กับหมูรวมกัน 100 ตัว ลองแทนตัวเลขดู
          - ถ้ามีไก่ 40 จะมีหมู 60
          - ถ้ามีไก่ 50 จะมีหมู 50
          - ถ้ามีไก่ 60 จะมีหมู 40
จะเห็นว่า จำนวนหมูจะเป็น [100 – จำนวนไก่]

ดังนั้น ไก่ = x , หมู = 100 – x

ประโยคถัดมาบอกว่าไก่และหมูมีขารวมกัน 280 ขา
ลองแทนตัวเลขดู ถ้ามีไก่ 50 ตัว หมู 50 ตัว จะมีขาไก่ 100 ขา ขาหมู 200 ขา
จะเห็นว่าขาไก่และขาหมู หาได้จากการเอา 2 และ 4 มาคูณกับจำนวนไก่และหมูนั่นเอง

ดังนั้นเราสามารถเอาประโยคนี้มาเขียนสมการได้เป็น
          2[ไก่] + 4[หมู] = 280
          2x + 4(100 - x) = 280
          2x + 400 – 4x = 280
          -2x + 400 = 280
          400 – 280 = 2x
          120 = 2x
          x = 60

ดังนั้นมีไก่ 60 ตัว มีหมู 40 ตัว
ตอบ มีไก่มากกว่าหมู 20 ตัว

..................................................

วิธีที่ 2 – ใช้ทั้งตัวแปร x และตัวแปร y

วิธีนี้เป็นวิธีที่ผมแนะนำให้ใช้มากกว่าวิธีแรก เพราะตาม common sense มีสิ่งที่เราไม่รู้ 2 อย่าง ก็ควรต้องใช้สองตัวแปรอยู่แล้ว การใช้วิธีนี้จะทำให้ฝึกเขียนสมการได้เก่งขึ้นและสามารถประยุกต์ใช้ทำโจทย์ที่ซับซ้อนได้ง่ายกว่า

ให้ ไก่ = x, หมู = y
จากประโยคแรก ที่บอกว่ามีไก่กับหมูรวมกัน 100 ตัว จะเขียนสมการได้เป็น
          x + y = 100          <----- เรียกว่าสมการที่ 1
จากประโยคที่สอง ที่บอกว่าขาไก่กับขาหมูรวมกันมี 280 ขา จะเขียนสมการได้เป็น
          2x + 4y = 280          <----- เรียกว่าสมการที่ 2

พอมี 2 สมการก็ใช้วิธีแก้แบบ “ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร”
เอา 2 คูณสมการที่ 1 กลายเป็น
          2x + 2y = 200          <----- เรียกว่าสมการที่ 3
เอาสมการที่ 2 มาลบสมการที่ 3 จะได้
          [2x + 4y] – [2x + 2y] = 280 – 200
          2x + 4y – 2x – 2y = 80
          2y = 80
          y = 40

ดังนั้น มีหมู 40 ตัว และมีไก่ 60 ตัว
ตอบ มีไก่มากกว่าหมู 20 ตัว

......................................................

          เป็นไงครับ 2 วิธีนี้คิดว่าวิธีไหนง่ายกว่ากัน? ตอนนี้คงยังแยกไม่ออก เพราะโจทย์มันยังง่ายอยู่ จะใช้วิธีไหนก็คงง่ายทั้งคู่ แต่ลองมาดูโจทย์ที่ยากขึ้นอีกขั้นดีกว่า

Ex.2 สามเท่าของเงินแมนมีค่ามากกว่าสองเท่าของเงินต้นอยู่ 8,000 บาท ถ้าห้าเท่าของเงินต้นมีค่ามากกว่าสองเท่าของเงินแมนอยู่ 13,000 บาท อยากทราบว่าแมนกับต้นมีเงินรวมกันกี่บาท (Lv.2)

วิธีทำ ข้อนี้มีสิ่งที่เราไม่รู้อยู่ 2 อย่าง คือเงินของแมน และเงินของต้น
ก็เหมือนข้อที่แล้ว จะโชว์วิธีทำให้ดูทั้ง 2 วิธีเลยละกัน

......................................................

วิธีที่ 1 – ใช้แต่ตัวแปร x อย่างเดียว

สมมติเลือกให้เงินของแมนเป็นตัวแปร x
จากที่โจทย์บอกว่า สามเท่าของเงินแมนมีค่ามากกว่าสองเท่าของเงินต้นอยู่ 8,000 บาท
แสดงว่าเอาเงินของแมนไปคูณ 3 แล้วลบ 8000 ทิ้ง จะได้เป็นสองเท่าของเงินต้น
ลองแทนตัวเลขดู
          - ถ้าแมนมี 3000 บาท ต้นจะมี [3(3000) – 8000]/2 = 500 บาท
          - ถ้าแมนมี 4000 บาท ต้นจะมี [3(4000) – 8000]/2 = 2000 บาท
          - ถ้าแมนมี 5000 บาท ต้นจะมี [3(5000) – 8000]/2 = 3500 บาท

ดังนั้นถ้า เงินแมน = x , เงินต้น = (3x – 8000)/2

ประโยคถัดมาบอกว่า ห้าเท่าของเงินต้นมีค่ามากกว่าสองเท่าของเงินแมนอยู่ 13,000 บาท
เอาประโยคนี้มาเขียนสมการได้เป็น
          5[เงินต้น] - 2[เงินแมน] = 13000
          5[(3x - 8000)/2] – 2x = 13000
          5(3x - 8000) – 4x = 26000
          15x – 40000 – 4x = 26000
          11x = 26000 + 40000 = 66000
          x = 6000

เอา x = 6000 ไปแทนค่าหาเงินของต้น
จะได้เงินของต้น = [3(6000) – 8000]/2 = 10000/2 = 5000

ดังนั้นแมนมีเงิน 6,000 บาท ต้นมีเงิน 5,000 บาท
ตอบ แมนกับต้นมีเงินรวมกัน 11,000 บาท

..................................................

วิธีที่ 2 – ใช้ทั้งตัวแปร x และตัวแปร y

ให้ เงินแมน = x, เงินต้น = y
จากประโยคแรกที่บอกว่า สามเท่าของเงินแมนมีค่ามากกว่าสองเท่าของเงินต้นอยู่ 8,000 บาท
เขียนสมการได้เป็น
          3x - 2y = 8000          <----- เรียกว่าสมการที่ 1
จากประโยคที่สองที่บอกว่า ห้าเท่าของเงินต้นมีค่ามากกว่าสองเท่าของเงินแมนอยู่ 13,000 บาท
เขียนสมการได้เป็น
          5y – 2x = 13000
          -2x + 5y = 13000          <----- เรียกว่าสมการที่ 2

พอมี 2 สมการก็ใช้วิธีแก้แบบ “ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร”
เอา 2 คูณสมการที่หนึ่ง และเอา 3 คูณสมการที่สอง
(เพื่อให้ทั้งสองสมการมีสัมประสิทธิ์ตรงก้อน x เป็น 6x เท่ากัน จะได้เอามาหักล้างกันได้) 
จะได้สมการดังนี้
          6x - 4y = 16000          <----- เรียกว่าสมการที่ 3
          -6x + 15y = 39000          <----- เรียกว่าสมการที่ 4
เอาสมการที่ 3 มาบวกกับสมการที่ 4 จะได้
          [6x - 4y] + [-6x + 15y] = 16000 + 39000
          6x - 4y - 6x + 15y = 55000
          11y = 55000
          y = 5000

เอา y = 5000 ไปแทนในสมการที่ 1 ได้
          3x – 2(5000) = 8000
          3x – 10000 = 8000
          3x = 8000 + 10000 = 18000
          x = 6000

ดังนั้น ต้นมีเงิน 5,000 บาท แมนมีเงิน 6,000 บาท
ตอบ แมนกับต้นมีเงินรวมกัน 11,000 บาท

......................................................

          จากตัวอย่างที่สองคงพอมองเห็นนะครับ ว่าถ้าเจอโจทย์ยาก ใช้ทั้ง x ทั้ง y จะเขียนสมการได้ง่ายกว่า โจทย์ข้อต่อ ๆ ไปจะใช้แต่วิธีสองตัวแปรนะครับ

Ex.3 เมื่อ 3 ปีที่แล้วพ่อมีอายุมากกว่าสองเท่าของลูกอยู่ 12 ปี ถ้าอีก 16 ปีข้างหน้าลูกจะมีอายุมากกว่าหนึ่งในสามของพ่ออยู่ 11 ปี จงหาอายุของพ่อในปัจจุบัน (Lv.3)

วิธีทำ ข้อนี้มีสิ่งที่เราไม่รู้อยู่ 2 อย่าง คืออายุของพ่อ และอายุของลูก

ให้ x แทนอายุของพ่อในปัจจุบัน
และ y แทนอายุของลูกในปัจจุบัน

จากประโยคแรกที่บอกว่า 3 ปีที่แล้ว พ่อมีอายุมากกว่าสองเท่าของลูกอยู่ 12 ปี
ต้องเข้าใจก่อนว่า 3 ปีที่แล้ว พ่อมีอายุเป็น (x - 3) ส่วนลูกจะมีอายุเป็น (y - 3)
ดังนั้น เขียนสมการได้เป็น
          [อายุพ่อเมื่อ 3 ปีก่อน] – 2[อายุลูกเมื่อ 3 ปีก่อน] = 12
          (x – 3) – 2(y – 3) = 12
          x – 3 – 2y + 6 = 12
          x – 2y = 9          <----- เรียกว่าสมการที่ 1
จากประโยคที่สองที่บอกว่า อีก 16 ปีข้างหน้า ลูกจะมีอายุมากกว่าหนึ่งในสามของพ่ออยู่ 11 ปี
เขียนสมการได้เป็น
          [อายุลูกในอีก 16 ปีข้างหน้า] – (1/3)[อายุพ่อในอีก 16 ปีข้างหน้า] = 11
          (y + 16) – (1/3)(x + 16) = 11
          3(y + 16) – (x + 16) = 33
          3y + 48 – x – 16 = 33
          3y – x + 32 = 33
          32 – 33 = x – 3y
          x – 3y = -1          <----- เรียกว่าสมการที่ 2

พอมี 2 สมการก็ใช้วิธีแก้แบบ “ระบบสมการเชิงเส้นสองตัวแปร”
ทั้งสองสมการมีก้อน x เหมือนกันอยู่แล้ว จึงนำมาลบกันได้เลย   
เอาสมการที่ 1 ลบสมการที่ 2 ได้ดังนี้
          [x - 2y] - [x - 3y] = 9 – (-1)
          x - 2y - x + 3y = 10
          y = 10

เอา y = 10 ไปแทนในสมการที่ 1 เพื่อหาค่า x จะได้
          x – 2(10) = 9
          x – 20 = 9
          x = 9 + 20 = 29

ดังนั้น ปัจจุบันพ่อมีอายุ 29 ปี ลูกอายุ 10 ปี
ตอบ ปัจจุบันพ่อมีอายุ 29 ปี

..................................................

Ex.4 แมนซื้อส้มมาสองชนิด ชนิดแรกราคากิโลกรัมละ 12 บาท ชนิดที่สองราคากิโลกรัมละ 15 บาท นำมาคละกันแล้วขายในราคากิโลกรัมละ 13 บาท ปรากฎว่าเท่าทุนพอดี อยากทราบว่าแมนซื้อส้มชนิดแรกและชนิดที่สองมาในอัตราส่วนเท่าใด (Lv.3)

วิธีทำ ข้อนี้มีสิ่งที่เราไม่รู้อยู่ 2 อย่าง คือจำนวนส้มชนิดแรก และจำนวนส้มชนิดที่สอง

ให้ x แทนจำนวนส้มชนิดแรก (หน่วยเป็นกิโลกรัม)
และ y แทนจำนวนส้มชนิดที่สอง (หน่วยเป็นกิโลกรัม)

โจทย์เรื่องกำไรขาดทุน ถ้าบอกว่าเท่าทุนพอดีแสดงว่า ต้นทุน = ราคาที่ขายไป
ในที่นี้ ต้นทุนมาจากราคาส้มทั้งสองชนิดที่ซื้อมา
ดังนั้น ต้นทุน = 12x + 15y

ราคาขาย มาจากการขายส้มทั้งสองชนิดในราคากิโลกรัมละ 13 บาท
ดังนั้น ราคาขาย = 13(จำนวนส้มทั้งสองชนิดรวมกัน) = 13(x + y) = 13x + 13y

ดังนั้น ต้นทุน = ราคาขาย เขียนสมการได้เป็น
          12x + 15y = 13x + 13y
          15y – 13y = 13x – 12x
          2y = x

โจทย์มี 2 ตัวแปร แต่ให้ข้อมูลมาแค่สมการเดียว ไม่เพียงพอที่จะบอกได้ว่า x และ y มีค่าเท่าใด
แต่ถ้าโจทย์ถามแค่อัตราส่วนของ x : y ยังพอทำได้

จาก 2y = x จะได้ว่า x/y = 2/1          
ดังนั้น x : y = 2 : 1
ตอบ แมนซื้อส้มทั้งสองชนิดมาในอัตราส่วน 2 : 1

......................................................

Ex.5 แมนซื้อส้มมาสองชนิด ชนิดแรกราคากิโลกรัมละ 12 บาท ชนิดที่สองราคากิโลกรัมละ 15 บาท นำมาคละกันแล้วขายในราคากิโลกรัมละ 20 บาท ปรากฏว่าได้กำไร 50% อยากทราบว่าแมนซื้อส้มชนิดแรกและชนิดที่สองมาในอัตราส่วนเท่าใด (Lv.4)

วิธีทำ ข้อนี้มีสิ่งที่เราไม่รู้อยู่ 2 อย่าง คือจำนวนส้มชนิดแรก และจำนวนส้มชนิดที่สอง

ให้ x แทนจำนวนส้มชนิดแรก (หน่วยเป็นกิโลกรัม)
และ y แทนจำนวนส้มชนิดที่สอง (หน่วยเป็นกิโลกรัม)

โจทย์เรื่องกำไรขาดทุน ถ้าบอกว่ากำไร 50% แสดงว่า
          [ต้นทุน] x (150/100) = [ราคาที่ขายไป]

ในที่นี้ ต้นทุนมาจากราคาส้มทั้งสองชนิดที่ซื้อมา
ดังนั้น ต้นทุน = 12x + 15y

ราคาขาย มาจากการขายส้มทั้งสองชนิดในราคากิโลกรัมละ 20 บาท
ดังนั้น ราคาขาย = 20 x (จำนวนส้มทั้งสองชนิดรวมกัน) = 20(x + y) = 20x + 20y

ดังนั้นกำไร 50% เขียนสมการได้เป็น
          (12x + 15y)(150/100) = 20x + 20y
          (12x + 15y)(3/2) = 20x + 20y
          3(12x + 15y) = 2(20x + 20y)
          36x + 45y = 40x + 40y
          45y – 40y = 40x – 36x
          5y = 4x

โจทย์มี 2 ตัวแปร แต่ให้ข้อมูลมาแค่สมการเดียว ไม่เพียงพอที่จะบอกได้ว่า x และ y มีค่าเท่าใด
แต่ถ้าโจทย์ถามแค่อัตราส่วนของ x : y ยังพอทำได้

จาก 5y = 4x จะได้ว่า x/y = 5/4          
ดังนั้น x : y = 5 : 4
ตอบ แมนซื้อส้มทั้งสองชนิดมาในอัตราส่วน 5 : 4

.......................................................

          ก็ประมาณนี้ครับ หวังว่าจะทำให้เด็กที่มาอ่านได้ประโยชน์บ้างไม่มากก็น้อย ถ้ามีอะไรสงสัยหรือต้องการให้ตั้งโจทย์เพิ่มก็บอกได้ครับ